Динамічна інтерпретація диференційного рівняння другого порядку. Консервативні системи.

Розглянемо нелінійне диференційне рівняння (4.4) і представимо собі рівняння (4.5) як рівняння руху частинки з одиничною масою при дії сили мал. 4.1).

Значення x і в момент t характеризують стан системи на площині (x,) (мал. 4.1). Ця площина називається площиною стану або фазовою площиною. Кожному новому стану відповідає нова точка на площині. Траекторія зображаючої точки назавають фазової траекторією, швидкість – фазовою швидкістю.

Від диференційного рівняння (4.5) можна перейти до системи

, (4.6)

Можна показати, що система (4.5), як і більш загальна ,,(4.7) де ,- неперервні функції разом з своїми частинними похідними в деякій області D, мають ту властивість, що, якщо x(t), y(t) – розв'язки системи, то і x=x(t+c), y=y(x+c), де с - довільна константа, теж є розв'язком.

Система (4.7) називається автономною або стаціонарною.

Якщо система (4.7) задана на всій площині, то фазові траекторії покриють всю площину і не будуть перетинатися одна з одною. Якщо в деякій точці (x₀,y₀) , то така точка нази вається особливою. В пожальшому будемо розглядати тільки ізольовані точки, тобто такі, в деякому малому околі яких немає інших особливих точок.

В реальних дінамічних системах енергія розсіюється. Роз сіювання ( дисинація) енергії проходять в зв'язку з наявністю тертя. В деяких системах проходить повільне розсіювання енергії і їм можна знехтувати. Для таких систем має місце закон збереження енергії: сума кінетичної і потенціальної енргії постійна. Такі системи називають консервативними.

Розглянемо консервативну систему:

(4.8)

Від (4.8) перейдемо до наступної системи :

, (4.9)

Виключаємо в (4.9) t:

, mydy=-f(x)dx (4.10)

Припустимо, що при t=t₀: x(t₀)=x₀, y(t₀)=y₀ і проінтегруємо (4.10) від t₀ до t :

(4.11)

Звідки (4.12)

Так як є кінетична енергія, а V(x)=-потенціальна, E=+V(x₀) – нова енергія, то (4.12) виражає закон збереження енергії.

+V(x)=E (4.13)

Співвідношення (6.13) задають інтегральні криві на площині. Вони будуть різні і залежать від E.

Ми дали механічну інтерпретацію диференційних рівняннянь другого порядку. Зупиняємося на геометричной.

Розглянемо f(x,y,y`,y``)=0 і перепишемо його у вигляді (4.14)

F(x,y,y`,(1+)^3/2)= F(x,y,y`,)=0 (6.15)

Поскільки (1+)^3/2 – кривизна кривої, то диференційне рівняння другого порядку являє собою зв'язок між координатами, кутом нахилу дотичної та кривізною в кожній точці інтегральної крівої.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Принцип дії, вимірювальне коло і види схем засобів вимірювань	\|	Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.