Множини дійсних чисел

У курсі вищої математики найбільший інтерес становлять чи-слові множини, тобто множини, елементами (величинами) яких є числа. Серед числових множин будемо розглядати такі:

1) Множина всіх натуральних чисел N = {1,2,3,...,n,... };

2) Множина всіх цілих чисел Z = {0 ,±1,±2,...,±n,...};

Множина всіх раціональних чисел ⁼ ^p ⁻ ціле − на

3) Q, p ^,g ^-

туральне число.

4) Множина всіх дійсних чисел R.

Множина всіх дійсних чисел складається з усіх раціональних і ірраціональних чисел. Ірраціональними числами називаються не-

скінченні неперіодичні десяткові дроби. Наприклад, 2 , lg 3,

sin 20 і т.д.

Зауважимо, що пряма лінія, на якій вказані початок відліку, масштаб і напрямок, називається числовою віссю.

Між множиною точок числової осі і множиною всіх дій-сних чисел існує взаємно однозначна відповідність. Це озна-чає, що кожна точка числової осі відображає одне дійсне чис-ло, і навпаки, кожне число являється координатою конкретної однієї точки числової осі.

Означення1. Інтервалом називається множина всіх чисел (точок), які знаходяться між двома якими-небудь числами (точ-ками), що називаються кінцями інтервалу.

Інтервал з кінцями x = a і x = b , де a < b , можна задати нері-вностями a < x < b або записати (a ,b).

Якщо разом з множиною точок інтервалу розглядати і його кінці, то одержимо замкнений інтервал або відрізок . Замкнений ін-тервал з кінцями x = a і x = b задається нерівностями a ≤ x ≤ b ; його позначають так: [a ,b]. Інтервал ( a ,b ) називається відкритим,

а інтервали [a ,b), (a ,b] піввідкритими.

Множину дійсних чисел, що задовольняє нерівність x > a по-значають (a ,+ ) , а множину чисел, що задовольняють нерівність x ≥ a позначають символом[a ,+ ).

Ми будемо розглядати також числові інтервали ( −∞ ,a ) , тоб-то множину чисел таких, що x < a і (− ∞ ,a], якщо x ≤ a .

Множину всіх дійсних чисел R будемо називати числовим інтервалом ( −∞ ,+ ) , якщо − ∞ < x < + .

Зауважимо, що більшість понять у математиці вводиться за допомогою означень. Наприклад, квадрат можна означити як пря-мокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Тут більш вузьке поняття - квадрат означається через посередництво іншого більш широкого поняття - прямокутника. Зрозуміло, що дати строге озна-чення всіх понять, які є в математиці, неможливо. Деякі найбільш загальні поняття (первісні) слід засвоїти не за допомогою означень, а іншим шляхом. До таких понять належить поняття множини. Це поняття засвоюємо, розглядаючи приклади. Так можна говорити про множину всіх міст певної конкретної країни, про множину всіх сту-дентів деякого факультету, про множину чисел, які наведені вище у даному пункті. Множини позначають великими буквами: А,В,С та

ін. Кожна множина складається з елементів, які позначають малими буквами: a ,b,c , x , y та ін. Наприклад, число 21 є елемент множини

всіх натуральних чисел. Те, що елемент x належить множині X за-писують так: x ∈ X . Якщо елементи x не належать множині X , то записують x ∉ X .

Нехай дано дві множини А і В . Якщо кожний елемент мно-жини А є одночасно й елементом множини В , то кажуть, що мно-

жина А є підмножиною В , і записують А ⊂ B або B ⊃ A .

Якщо А⊂ B і B ⊂ A , то кажуть, що множини А і В рівні і записують А = B.

У математиці розглядають і так звану порожню множину, яка не містить жодного елемента. ЇЇ позначають знаком Ø. Наприклад,

множина всіх дійсних коренів рівняння x² + 1 = 0 є порожня мно-жина (рівняння x² + 1 = 0 немає дійсних коренів).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Розділ 3. ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ	\|	Абсолютна величина дійсного числа

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.